大数定律的内容

切比雪夫大数定律

条件：

随机变量序列两两不相关随机变量期望方差均存在随机变量的方差有公共上界（DXi

公式:（算术平均收敛于自己的期望）

辛钦大数定律

条件：

XnX_{n}Xn​独立同分布XXX的期望存在

公式（同样是，算数平均收敛于自己的期望）：

伯努利大数定律

公式（频率收敛于概率）：

faf_{a}fa​是nnn重伯努利实验中A发生的次数，ppp是试验中事件A发生的概率，则有

大题解题思路

1.验大数定律：说明XXX满足大数定律的条件，比如把期望方差算出来，或证明X之间独立。

2.代大数定律的式子。

（小题直接代就行）

例题

例1

知识：

1.指数分布的期望和方差：Γ(1,λ)=λe−λx(x>0)\Gamma (1,\lambda ) = \lambda e^{-\lambda x }(x>0)Γ(1,λ)=λe−λx(x>0)

E(X)=1λE(X) = \frac{1}{\lambda}E(X)=λ1​ D(X)=1λ2D(X) = \frac{1}{\lambda^2}D(X)=λ21​

2.方差计算公式的逆用（平方的期望减期望的平方）D(X)=E(X2)−(EX)2D(X) = E(X^2) -(EX)^2D(X)=E(X2)−(EX)2

3.辛钦大数定律，算数平均收敛于期望

答案：1/2

例2

知识：

1.辛钦大数定律，算数平均收敛于期望

2.已知密度函数求期望E(g(x,y))=∬g(x,y)dxdyE(g(x,y)) = \iint g(x,y)dxdyE(g(x,y))=∬g(x,y)dxdy

3.凑微分 xdx=dx22x\mathrm{d}x = \mathrm{d}\frac{x^2}{2}xdx=d2x2​

答案：存在，a = 2.